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Função Quadrática ou do 2° Grau





Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
  • f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
  • f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
  • f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
  • f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
  • f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

xy
-36
-22
-10
00
12
26

Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
  • se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
  • se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;



Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B, respectivamente conhecidos como domínio e contradomínio da função. Para que a função seja chamada função do segundo grau, é necessário que sua regra (ou lei de formação) possa ser escrita na seguinte forma:
f(x) = ax2 + bx + c
ou
y = ax2 + bx + c
Além disso, a, b e c devem pertencer ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. Dessa forma, são exemplos de função do segundo grau:
a) f(x) = x2 + x – 6
b) f(x) = – x2


Raízes da função do segundo grau
As raízes de uma função são os valores assumidos por x quando f(x) = 0. Assim, para encontrá-las, basta substituir f(x) ou y por zero na função e resolver a equação resultante. Para resolver equações do segundo grau, podemos usar fórmula de Bháskara, método de completar quadrados ou qualquer outro método. Lembre-se: como a função é do segundo grau, ela deve ter até duas raízes reais distintas.
Exemplo – As raízes da função f(x) = x2 + x – 6 podem ser calculadas da seguinte forma:

f(x) = x2 + x – 6
0 = x2 + x – 6
a = 1, b = 1 e c = – 6
∆ = b2 – 4·a·c
∆ = 12 – 4·1·(– 6)
∆ = 1 + 24
∆ = 25
x = – b ± √∆
      2a
x = – 1 ± √25
      2
x = – 1 ± 5
      2
x’ = – 1 + 5 = 4 = 2
     2        2
x” = – 1 – 5 = – 6 = – 3
  2          2
Logo, as raízes da função f(x) = x2 + x – 6 são os pontos de coordenadas A = (2, 0) e B = (– 3, 0).

Vértice da função – Ponto máximo ou mínimo
vértice é o ponto no qual a função do segundo grau atinge seu valor máximo ou mínimo. Suas coordenadas V = (xv, yv) são dadas pelas fórmulas a seguir:
xv = – b
       2a
e
yv = – 
        4a
No mesmo exemplo citado anteriormente, o vértice da função f(x) = x2 + x – 6 é obtido por:
xv = – b
       2a
xv = – 1
        2·1
xv = – 1
       2
xv = – 0,5
e
yv = – 
       4a
yv = – 25
        4·1
yv = – 25
       4
yv = – 6,25
Assim, as coordenadas do vértice dessa função são V = (– 0,5; – 6,25).
A coordenada yv também pode ser obtida substituindo o valor de xv na própria função.
Gráfico da função do segundo grau
gráfico de uma função do segundo grau sempre será uma parábola. Existem alguns macetes envolvendo essa figura que podem ser usados para facilitar a construção do gráfico. Para exemplificar esses macetes, também usaremos a função f(x) = x2 + x – 6.
1 – O sinal do coeficiente a está ligado à concavidade da parábola. Se a > 0 a concavidade da figura será voltada para cima, se a < 0 a concavidade da figura será voltada para baixo.
Assim, no exemplo, como a = 1, que é maior que zero, a concavidade da parábola que representa a função f(x) = x2 + x – 6 será voltada para cima.
2 – O coeficiente c é uma das coordenadas do ponto de encontro da parábola com o eixo y. Em outras palavras, a parábola sempre se encontra com o eixo y no ponto C = (0, c).
No exemplo, o ponto C = (0, – 6). Então, a parábola passa por esse ponto.
3 – Assim como no estudo dos sinais da equação do segundo grau, nas funções do segundo grau, o sinal do determinante aponta o número de raízes da função:
Se ∆ > 0 a função tem duas raízes reais distintas.
Se ∆ = 0 a função tem duas raízes reais iguais.
Se ∆ < 0 a função não tem raízes reais.
Dados esses macetes, será preciso encontrar três pontos pertencentes a uma função dosegundo grau para construir o gráfico. Em seguida, basta marcar esses três pontos no plano cartesiano e desenhar a parábola que passa por eles. A saber, os três pontos são:
  • vértice e as raízes da função, se ela possuir raízes reais;
ou
  • vértice e dois outros pontos quaisquer, se a função não possuir raízes reais. Nesse caso, um ponto deve estar à esquerda e outro à direita do vértice da função no plano cartesiano.
Observe que um desses pontos pode ser C = (0, c), exceto no caso em que esse ponto for o próprio vértice.
No exemplo f(x) = x2 + x – 6, temos o seguinte gráfico:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é função do segundo grau?"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao-segundo-grau.htm>. Acesso em 24 de janeiro de 2018.


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